Az Bilinen Zarif Teoremler-1: Napolyon Teoremi

Ünlü askeri deha ve general aynı zamanında imparator Napoleon Bonaparte (1769-1823) Fransız Devrimi’nin gücünü arkasına alarak Avrupa’yı baştanbaşa yeniden şekillendirmişti. Tarihte hakkında en çok bahsedilen kişilerden olması tesadüf değil elbette. Ayrıca sanat, satranç ve matematikle de ilgili olan Napolyon’un ilginç ve zarif teoreminden bahsedeceğiz bu yazıda.

 

 

Tanım: Herhangi bir üçgenin kenarlarını kendisine kenar kabul eden eşkenar üçgenler inşa eder ve eşkenar üçgenlerin ağırlık merkezlerini birleştirirsek yeni bir eşkenar üçgen elde ederiz. Ayrıca bu inşayı içe doğru ve ya dışa doğru yapabiliriz, sonuç değişmeyecektir.

 

 

Kanıt: Bir ABC üçgeninin üzerine şekildeki gibi eşkenar üçgenler oluşturalım. I,G,H bulundukları üçgenin ağırlık merkezleri olduklarından AG ve AI uzunlukları da açıortay görevi görecektir. Dolaysıyla m(GAB) = m(CAI) = 30 derecedir.

Buradan hareketle GAI üçgeninde kosinüs teoremi den faydalanarak s2= u2 + t2 – 2ut·cos(A + 60°) eşitliğini yazabiliriz.    ❶

t ve u’nun kenarortay özelliği den dolayı b ve c kenarları nın 2/3 kadar olduğunu da unutmayalım!

Buradan da t = (2/3)· √3/2 · c = c/√3 ve u = (2/3). √ 3/2 · b = b/√3 eşitlikleri elde edilir.    ❷

Şimdi 2 deki bu eşitlikleri 1 de yerine yazdığımızda

3·s2 = b2 + c2 – 2bc·cos(A + 60°)

cos(A + 60°) = cos(A)/2 – sin(A)·√3/2

3·s2 = b2 + c2 – bc·cos(A) + √3·bc·sin(A).    ❸

Tekrar kosinüs teoreminden hareketle

a2 = b2 + c2 – 2bc·cos(A)

2·A(ABC) = bc·sin(A) eşitlikleri çıkar ve bu eşitlikler 3 de yerine yazıldığında ve düzenlendiğinde;

3·s2 = (1/2)(a2 + b2 + c2) + 2·√3)· A(ABC) ‘ ye ulaşılır. Bu yöntem diğer kenarlar içinde aynen tekrarlanabileceğinden IG = GH = IH eşitliği ispatlanmış olur.

Bu trigonometrik kanıt dışında birde geometrik kanıt mevcuttur. Merak edenler için bu ve benzeri teoremleri ve kanıtlarını bulabileceğiniz bir sitenin bağlantısını da aşağıda bulabilirsiniz.

İspatın orijinali için link: http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon.shtml

Çeviri: Ümit Sağlam

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Umit Saglam

Akaki Tseretelli State University. ‘de Matematik bölümünü bitirdim. 2010 da Türkiye ye döndüğümde satış ve finans departmanlarında çalıştım. 2013 de Yeditepe Üniversitesinden pedagojik formasyon alarak Öğretmenliğe başladım. Şuan Türkiye’nin önde gelen eğitim kurumlarından birinde Matematik ve Satranç öğretmenliği yapmaktayım. Satranç, gezi, yemek yapmak, akıl oyunları, yağlı boya resim, fotoğrafçılık, kampçılık ilgi alanlarım. Ayrıca “matematiği öğretirken sevdirebilmek” üzerine çalışmalar yapmaktayım.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');