Aslında Sadece Bir Kare: Sihirli Karelerden Sudoku’ya Yolculuk

Bir Çin efsanesine göre; yaklaşık üç bin yıl önce, Çin’de büyük bir sel meydana geldi. Nehir tanrısını sakinleştirmek için halk Lo Nehri’ne bazı tekliflerde bulunudu, ancak işe yaramadı. Ne zaman yeni bir teklifte bulunsalar, nehirden bir kaplumbağa çıkardı. Bir gün bir çocuk, 1’den 9’a kadar olan sayıları temsil edermiş gibi görünen kaplumbağın arkasındaki izleri fark etti. Rakamlar, her bir hatta toplamı 15 olacak şekilde düzenlenmişti. Böylece insanlar, tekliflerinin doğru miktarda olmadığını anladı.

Lo Nehrinin Su Perisi, el tabletlerine çizilmiş bir mürekkepli yazı, Ming hanedanı, 16. yüzyıl. Freer Sanat Galerisi

Lo Shu Sihirli Karesi

Kaplumbağanın arka tarafındaki işaretler aslında sihirli bir kareydi. Bu sihirli karenin, her satırına, her sütununa ve iki taraftan çapraz olan köşegen üzerindeki rakamların toplamı aynı sayı olacak şekilde doldurulmuş bir kare ızgara gibidir. İşte Lo Shu’nun sihir kareleri bunun gibi görünüyordu. Onda üç satır ve üç sütun vardır ve herhangi bir satırdaki, sütundaki veya köşegen üzerindeki numaraları toplarsanız, daima 15 elde edersiniz.

 

Matematikçiler sihir karelerinden bahsederken, genellikle karenin sırası hakkında konuşurlar. Bu sadece sihirli karenin sahip olduğu sıra veya sütun sayısıdır. Örneğin 3 x 3 büyüklüğünde ki bir kare; üç satır ve üç sütun içerir, bu nedenle sırası 3’tür.

‘lük bir sihirli kare, 1’den 9’a kadar olan tüm rakamları, ‘lük bir kare ise 1’den 16’ya kadar olan sayıları içerir.

Lo Shu sihirli karelerinde ayrı ayrı tüm sıraların, tüm sütunların ve iki diyagonallerin üzerindeki rakamların toplamı 15 eder. Bu numarayı sihirli sabit olarak adlandırırız ve herhangi bir normal sihirli karede sihirli sabiti çözmek için kullanabileceğiniz basit bir formül var.

‘lik sihirli bir karesi için büyü sabiti

şeklindedir. Yani ‘lük bir kare için,

olur. Bu formülü türetmek kolaydır:

‘lik sihirli bir karenin tam olarak n satırı vardır ve her satırın toplamı, sabiti ‘e karşılık gelir. Dolayısıyla , karedeki tüm sayıları topladığınızda elde ettiğiniz değerdir. Ancak, ile arasındaki her sayı karede tam olarak bir kez yazıldığından, toplam sayısının da ’ye eşit olduğunu görürsünüz

Ve çoğunuzun bildiği gibi, bu toplam

eşittir. Bütün bunları bir araya getirirseniz,

elde edersin yani


Matematikçiler normalde iki sihirli kareyi, döndürme veya yansıtma ile birbirinden elde edebildiyse aynı olarak görürler. Bu şekilde ‘lük  sadece Lo Shu sihirli karesi varken ’lük karelerin 880, ‘lik olanlar ise  275 milyon 305 bin 224 tanedir.

Kimse, ’lık bir karenin kaç farklı sihir karesi olduğunu bilmemektedir, ancak bir milyon milyon milyondan fazla olduğu tahmin edilmektedir! 🙂

De La Loubere ve Siamese Yöntemi

Sihirli bir kare yapmak için kolay bir yol olup olmadığını merak ediyor olabilirsiniz. Neyse ki, var. De La Loubere, 17. yüzyılın sonunda Fransız büyükelçisi olan Siam’a (bugünkü Tayland) geldi. Fransa’ya döndükten sonra yanında, tek sayılı sıra ve sütunlarla sihirli kareler inşa etmenin bir metodunu getirdi.

Sihirli karenin en üst satırında ki orta hücreyi bularak başlayın ve hücrenin içine 1 yazın. Daha önceden üzerine yazılmış olan karenin diyagonal olarak bitişik hücrenin kuzey-doğusundaki sayıları 2, 3, 4 ve benzeri şekilde yazarak devam edin. Karenin ortasına geldiğinizde, zıt kenarlardan sanki birbirine yapıştırılmış gibi devam edin. Herhangi önceden doldurulmuş bir hücreye rastladığınızda, o hücrenin hemen altındaki hücrelere gidin ve daha önce izlediğiniz yolu takip edin.

Tüm hücreler doldurulduğunda, iki ana çapraz çizgi ve her satır ve sütundaki sayıların toplamı aynı sayı olmalıdır!


İşte ’lik büyülü karenin bir kısmı burada. ‘den başlayarak ‘a kadar sayıları doldurdum. ‘in kuzeydoğusundaki boşluk yok, bu yüzden ‘yi en alt sıraya koyduktan sonra ‘ü yerleştirdim. ’ün yukarı kuzey doğusunda kare yok bu yüzden üst satır ile devam ediyor. , ‘in bulunduğu hücrede olmalıdır, ancak bu hücre dolu olduğu için ‘yı ‘in hemen altına koydum ve ‘a kadar devam ettim. Kareyi tamamlamayı siz de deneyebilirsiniz elbette.

Siamese metodu olarak bilinen bu yöntem, muhtemelen sihirli kareler yapmak için en iyi bilinen yöntemdir, ancak başka yöntemler de mevcuttur. Mesela İngiliz matematikçi olan John Horton Conway’nin Lozange metodu. Bu yöntemlerin ispatlanması cebir kullanılarak yapılabilir, ancak kolay değil!

Çift Sıralı Sihirli Kareler

Siamese yöntemi herhangi bir tek sayılı sihirli bir kare oluşturmak için kullanılabilir, ancak düzenin tüm sihirli kareleri için geçerli basit bir yöntem yoktur. Neyse ki, karenin sırası ile bölünebilen çift bir sayı olduğunda kullanabileceğimiz güzel bir yöntem var (İlgilenenler için, LUX yöntemi, JH Conway tarafından ile bölünemeyen çift sayılarla uğraşmak için icat edildi. ).

‘le bölünebilen sayılar” diye söylemek yerine, matematikçiler genellikle “ ” şeklinde söylüyorlar. Örneğin, , biçimindedir, çünkü ‘yi alabilirsiniz. Aynı düşünceyi kullanarak, bunları ile böldüğünüzde kalanını veren sayılar, biçiminde yazılabilir.

Öyleyse karenin kaça kaç bir kare olduğunu seçerek işe başlayın. olduğundan emin olun ve soldan başlayarak satırlar boyunca ‘den  ‘ya kadar olan hücreleri numaralandırın. Ardından kare ‘ü ‘lük altkümeler halinde bölün ve her alt karenin ana diyagonallerinde bulunan sayıları işaretleyin. Örnekte bunlar renkli numaralardır; Kareniz ‘lüktür, bu nedenle sadece ’lük olan kare(ler) kendisidir.


Şimdi en düşük işaretli sayıyı en yüksek işaretli sayıyla, ikinci en düşük işaretli sayıyı en yüksek ikinci işaretli sayıyla değiştirin. Bunu söylemenin bir başka yolu, sihir karesi ’likse, ‘e kadar olan sayıları takas etmektir. Bu özel örnekte, ‘tür, bu nedenle ‘den ’ye kadar olan sayıları bahsettiğimiz düzene göre değiştirmeliyiz ile , ile , ile , ile .

Bu sihirli karenin üstünü çevirirseniz, ünlü Alman sanatçı Albrecht Dürer’in çizdiği sihirli kare ile aynıdır. Gravür Melencolia’nin köşesinde görebilirsiniz.

Albrecht Dürer’in 1514’teki gravür sanatı Melencolia.

Melencolia’da görülen sihirli bir kare yakın plandan gösterildi.

İşte, aynı yöntemi kullanarak inşa edilen ’lik sihirli kare örneği. Kare ‘lük dört bölüme ayrıldı ve köşegenler renklendirildi. ‘e kadar olan renkli numaralar değiştirildi: , ile değiştirildi, ‘ü ile takas edildi … vb.

Bir Atın Hikayesi

Herhangi bir satranç oyuncusunun bileceği gibi, ’lik sihirli bir kare, satranç tahtasında olduğu gibi aynı sayıda hücreye sahiptir. Bu benzerlik, bir satranççının hareketine dayalı özel bir sihirli kare oluşturabileceğimiz anlamına geliyor.

At ilginç bir parçadır, çünkü diğer parçalardan farklı olarak, düz bir çizgi boyunca dikey, yatay veya çapraz olarak hareket etmez. Bunun yerine at şemada gösterildiği gibi L-şeklinde hareket eder. Ancak bu şekilde hareket eden bir at, satranç tahtasındaki her kareyi tam bir kez ziyaret etmesi mümkün müdür?


At(K), L şeklinde, X işaretli karelerden herhangi birine hareket edebilir.

Atın turunu araştıran ilk matematikçilerden biri, sorun ortaya çıktığında İsviçre’nin büyük matematikçisi Leonhard Euler’di. Euler’in yaptığı iş, zorlukların üstesinden gelme konusunda diğerlerine ilham verdi.

At turu kavramını kullanarak, William Beverley aşağıda gösterildiği gibi sihirli bir kare üretmeyi başardı. At onları ziyaret ettiğinde hücreler sırayla numaralandırılır. Tüm satırların ve sütunların toplamı ‘a kadar çıksa da, ana diyagonaller hariç, yani kesinlikle yarı sihirli bir karedir. Aslında, bir at turuna dayalı sihirli bir kare, genellikle büyülü bir tur olarak adlandırılır, bu nedenle Beverley’in ‘de ürettiği şey, yarı sihirli bir turdur!

İlk bakışta, Feisthamel’in aşağıdaki sihir karesi hesaba uyuyor gibi görünüyor. Sıralar, sütunlar ve diyagonallerin toplamı ‘tır. Ne yazık ki, yalnızca kısmi bir at turudur, çünkü ‘den ‘e bir sıçrama vardır.

Öyleyse at turunu sihirli bir kareye çevirmek ne zaman mümkündür? ‘te Stertenbrink ve Meyrignac nihayet her olası kombinasyonu hesaplayarak bu sorunu çözdü.  yarı sihirli tur buldu, ancak büyülü turlar yoktu. Şah Mat!

Latin Kareleri

Latin kareleri Sudoku’nun gerçek atalarıdır. yılı aşkın Arap edebiyatında Latin karelerinden örnekler bulabilirsiniz. Onlar birkaç yüzyıl sonra Euler tarafından keşfedildi ve onları yeni bir sihirli kare olarak düşündü ve Latin kareleri olarak adlandırdı.

Latin kareleri, sayı, harf veya sembollerle dolu ızgaralardır, böylece aynı satır veya sütunda iki kez hiçbir sembol görünmez. Sihirli bir kare ile Latin karesi arasındaki fark kullanılan sembollerin sayısıdır. Örneğin, sihirli kare arasında  farklı numara var, ancak Latin kare yapmak için yalnızca farklı sayıya veya harfe ihtiyacınız var.


Her satırda ve sütunda ‘den ‘e kadar rakamlarla dolu bir Latin kare örneği. İlk satıra ve ilk sütuna bakarsanız, sayıların sırayla göreceksiniz: 1, 2, 3, 4. Bu olduğunda Latin kare standart formda veya normalize edilmiş diyoruz. Herhangi bir Latin kare, çift sıra ve çift sütun takas yapılarak standart forma dönüşebilir.

’lük normalleştirilmiş yalnız bir Latin karesi var ve yalnızca ‘lük, farklı Latin karesi var, ancak sarsıcı ki ’lük karenin sayısı 377597570 964258816 tane. ‘da JR Nechvatal, karmaşık bir formülle, herhangi bir kare için farklı normalleştirilmiş Latin karelerinin sayısını bulan formülü yaratmıştı.

Eğer iki Latin kareyi birleştirirsek, harfler ve sayılarla eşleşmiş yeni bir kare elde ederiz. Hiçbir çift tekrar edilmez, ancak ızgarada her bir kombinasyon bulunur. Bu yeni kareye Euler Karesi veya Graeco-Latin Karesi diyoruz ve Euler karesini oluşturan iki kareye karşılıklı ortogonal deniyor.

Latin kareleri ve Euler kareleri, deneme tasarımları ve round-robin turnuvaları da dahil olmak üzere geniş bir yelpazede uygulama alanına sahip.

Mesela, bilim insanı Albert’in dört gönüllü üzerinde dört farklı uyuşturucu (A, B, C ve D) denemek istediğini varsayalım. Adil bir test yapmak için, her gönüllünün her hafta farklı bir ilaçla test edilmesi gerektiğine karar verir, ancak iki gönüllünün aynı anda aynı uyuşturucuyu kullanmasına izin verilmez. Her satırın farklı bir gönüllüyü temsil ettiğini ve her sütunun farklı bir haftayı temsil ettiğini söyleyen Albert, tüm denemeyi bir Latin kare kullanarak planlayabilir.

Otuz Altı Memur Problemi

Euler, Latin karelerinde önemli miktarda çalışma yaptı ve onları inşa etmek için bazı yöntemler bulmuştu. Euler, ‘ün katı olan ’ lik ve tek-dereceli Graeco-Latin kareleri oluşturmak için kolayca yöntemler bulmuştur ancak ’lık bir Graeco-Latin karesini üretemedi.

Euler sadece Graeco-Latin karesi düzenleyerek çözülebilen ünlü bir sorun ortaya attı. subay problemi şu şekildedir: Farklı alaylardan seçilen her subayı rütbede hiçbir satın ve sütunun aynı alay ve rütbeye subaydan fazla alınmaması kaydıyla düzenleyebilmek mümkün müdür?

Euler bu sorunu asla çözemedi. Aslında, formunda bir Graeco-Latin kare yapmanın imkansız olduğuna inanıyordu.

Sadece yüz yıl önce Euler’in tahmini kısmen kanıtlanmıştı. Gaston Tarry adlı bir Fransız matematikçisi, muhtemel her kombinasyonu ’lık Euler karesi için kontrol etti ve hiçbirinin olmadığını gösterdi.

‘ın sonunda Bose, Shrikhande ve Parker, Euler karelerinin, ve ‘lık kareler haricindeki tüm ’lik kareler için de var olduğunu kanıtlamayı başardı. Ancak onların elinde bilgisayar olduğunu göz önünde tutarak, her şeyi elle yapmak zorunda kalan Tarry’nin durumunu düşünün!

SUDOKU

Londra’da bir tren yakalarsanız, elinde kalem, kucağında bir gazete ve aklında bir şey olan birçok gezgin göreceksiniz. Sudoku veya Su Doku, Latin karelerinin özel bir türüdür. Genellikle ‘a ‘luk kare ızgara şeklindedir ve küçük ’lük kutulara bölünürler. Oyunun amacı, ‘den ‘a kadar olan her bir sayı ile bütün hücreleri doldurmaktır, böylece her sayı tam olarak her sıra, sütunda ve ’lük kutularda bir kez görünür. Bulmacayı tamamlamanıza yardımcı olmak için birkaç sayı ipucu olarak verilmiştir.

Sudoku’nun icadıyla alakalı kişi Howard Garns’dır. İlk bulmaca Dell Pencil Puzzles and Word Games dergisinde yılında çıktı ve Number Place deniyordu. Bulmaca, ‘lerde Japonya’da popülarite kazandı ve The Times gazetesinde yayınlanınca ‘te yaygınlaştı. Sudoku ismi günümüzde bir Japon bulmaca yayıncılığının tescilli bir markası.

Kaç tane tamamlanmış Sudoku ızgarasının olduğunu söylemek zor ancak matematikçiler Bertram Felgenhauer ve Frazer Jarvis daha sonra Ed Russell tarafından onaylanan  6670903,752021072936,960’ta hemfikir oldular.

Sudoku’nun çözümü mantıklı düşünme ve sistematik bir yaklaşım gerektirir. Normal olarak bazı sayılar ipucu olarak verilir. Çok ipucu işi kolaylaştırır. Gerçek Sudoku bağımlıları muhtemelen az sayıda ipucu tercih ederler. Ancak tam olarak bir ve daha fazla çözüm bulunmasını sağlamak için verilmesi gereken asgari ipuçları nelerdir? Bu iyi ve şu ana kadar matematikçilerin tam cevap veremediği bir soru ancak sayısına inanmak için iyi bir neden var.

Peki bu soruyu etrafa çevirirsek? Başlıbaşına tamamlanmış bir sudoku ızgarası verildiğinde, bu ızgarayı bir çözüm olarak sunan çok sayıda başlangıç ızgarası var mı? Burada, birkaç çözümün mümkün kılınmasına gerek olmadan daha fazla numaranın kaldırılamayacağı ilk ızgaraları kastediyoruz. Yine, matematikçiler bu sorunun cevabını bilmiyorlar.

Ancak Sudoku bulmacasını çözmeye nasıl başlayacağınıza bir göz atalım. Tarama olarak bilinen temel tekniklerden birini görüntülemek için oluşturdum.

Ortadaki üç kutuya baktığımızda sol kutuda bir tane , orta kutuda bir tane var, ancak yine de sağdaki kutuya ‘ü koymamız gerekiyor. Peki nereye gitmeli? Üst satırda olamaz, çünkü o satırda zaten 3 tane var. Aynı nedenle, alt satırda da olamaz . Kutucukta var. Orta sırada ve son kutucukta sadece bir boş hücre var, bu yüzden  oraya yazılmalı.

Şimdi, alttaki üç kutuyu incelersek, satırlardan birinde zaten 6 sayı vardır. Boş hücreleri A, B ve C (soldan sağa sırayla) olarak adlandırdım ve eksik olan sayı , ve ‘dir. C hücresine bakarsanız, içine girebileceğiniz tek sayı . Çünkü C’nin içinde bulunduğu sütun zaten ve içeriyor.

A ve B’yi bulmak son derece basittir. B ile aynı sütunda , B’nin olması gerekiyor. Bu A’nın olması gerektiği anlamına geliyor. Bulmacanın geri kalanını çözmek biraz daha hileli ama çabaya değer.

Sudoku çılgınlığı dünyayı dolaştı ve yavaşlama belirtisi göstermiyor. ‘dan‘ya kadar versiyonlar ve çoklu grid kombinasyonları gibi temel temadan çeşitli varyasyonlar geliştirilmiş durumda. Ancak büyü kareleri ve Latin kareleri gibi Sudoku’nun popülaritesi de onların yeni sorunlar sunmaya devam edip etmemesine bağlı olacak.

Ceyda Cevahir

Kaynakça

https://plus.maths.org/content/anything-square-magic-squares-sudoku

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Ceyda Cevahir

Matematik ile kafayı bozmuş, Rizeli bir baba ve Ordulu bir annenin hırçın karedeniz kızı. İstanbul’da başlayan yaşam mücadelem Kastamonu Göl Anadolu Öğretmen Lisesi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Matematik Öğretmenliği, yüksek lisans ve doktoram Ordu Üniversitesi ve Ondokuz Mayıs Üniversitesi Geometri anabilim dalı diye gidiyor. Eğitim hayatım bunlardan ibaret. Anlayacağınız göçebe bir yaşam tarzım var.
Aslında gezmeyi de seviyorum. Tam bir doğa aşığı ve hayvanseverim.
Bilim ile uğraşmayı, yeni bir şeyler öğrenmeyi seven meraklı biriyim hele ki konu matematikse… Bu yolda öğrendiklerimi sizlerle paylaşacağım. Umarım keyifle okursunuz.

Matematik ile kalın, hoşça kalın. :)

Bunlara da Göz Atın

Sabun Köpüğündeki Geometri

Yumurta, neden yumurta şeklindedir ya da neden balık, balık şeklindedir? Neden gezegenler ve yıldızlar bir …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');