Asal Sayılar Hakkında Pek Çok Şey

Euler insan aklının asal sayılar dünyasının sırlarına muhtemelen hiçbir zaman vakıf olamayacağını söylemişti. Ölmeden bu sır perdesinin biraz olsun aralandığını görebilecek miyiz?

Tam sayı deyince 1, 2, 3, 4, 5, … gibi “sayma” sayılarını düşünürüz. Her tam sayı kendisine ve 1’e kalansız olarak bölünür. Pek çok tam sayı başka tam sayılara da kalansız bölünebilirken bazı sayılar kendisinden ve 1’den başka sayıları bölen olarak kabul etmez. İşte o inatçı sayılara asal sayı deriz.

İlk on beş asal sayı şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Burada ilk dikkat çeken ayrıntı 1’in bu listede olmayışıdır. Oysa o da kendinden ve 1’den başka tam sayıya kalansız olarak bölünmüyor. Bu listeye alınmaması matematikçilerin kendi aralarında aldığı bir kararın sonucudur. Şimdilik bu karara saygı duyalım. Az sonra bunun ne kadar yerinde bir karar olduğunu göreceğiz.

Asal Çarpanlar

Asal olmayan tam sayılara bileşik sayı deriz. Her bileşik sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazabiliriz ve bu yazılış biçimi tektir.

Örneğin: 93=3×31 şeklinde yazılır ve 3’le 31’in yer değiştirmesi dışında 93’ün asalların çarpımı şeklinde başka bir yazılımı yoktur.

Eğer 1’i de asal kabul etseydik, o zaman 93=3×31=1x3x31= 12x3x31= 13x3x31= …ˑˑˑ yazabilecektik. Bu da 93’ün birbirinden anlamca farklı olmayan ama şeklen farklı sonsuz şekilde asal çarpanlara ayrıldığını gösterecekti. Çarpanlar arasına 1’i sokmakla yeni bir bilgi elde etmediğimiz için matematikçiler oy birliğiyle 1’i asal olmaktan azletmiştir. Her tam sayı ya kendisi asaldır ya da asalların çarpımı şeklinde yazılabilir. Öyleyse tüm asalları bilirsek tüm sayıları bilmiş olacağız!

Kaç Tane Asal Sayı Var?

Sonsuz tane asal sayı olması gerektiğini bilebiliriz. Bunu ilk fark eden kişi Öklid olmuştur. Öklid’e göre eğer sonlu sayıda asal sayı içeren bir liste alırsak mutlaka bu listede olmayan başka bir asal sayının var olduğunu gösterebiliriz. Öklid’in bugün hâlâ güzelliğini koruyan akıl yürütmesi çok kısadır.

İlk önce en az bir asal sayı içeren sonlu bir asal sayı listemiz olduğunu düşünelim. Bu listedeki tüm asalları çarpalım ve çıkan sayıya 1 ekleyelim. Bu bulduğumuz sayı listemizdeki asalların hepsinden büyük olduğu için kendisi bu listede değil. Öte yandan elde ettiğimiz bu sayı listemizdeki asalların her birine bölündüğünde daima 1 kalanını verecek. Demek ki bu sayı ya kendisi asaldır ya da listemizde olmayan bir başka asal sayıya bölünür.

Komşu Asallar

Birbirini takip eden asallar arasında en az ve en çok ne kadar aralık olur sorusu asallarla ilgilenmeye başlayınca ilk akla gelen sorulardan biridir. İlk önce iki ardışık asalın birbirinden ne kadar uzak olabileceği sorusuyla ilgilenelim, çünkü o soruyu cevaplamak daha kolay.

Bir sayı tutun. Aralarındaki fark tuttuğunuz o sayıdan daha fazla olan iki ardışık asal mutlaka vardır.

Örneğin 5 sayısını tutmuş olun. Ardışık beş tane bileşik sayı yazacağız. 722, 723, 724, 725, 726 Bu sayılar sırasıyla 2, 3, 4, 5 ve 6 ile bölünür. Demek ki 722’den küçük ilk asalla 726’dan büyük ilk asal arasında en az beş fark var. Gerçekten de aralarında bu sayılar olan asallar 719 ve 727’dir ve aralarındaki fark beşten büyüktür.

Burada 722 sayısını bulmak için önce 1x2x3x4x5x6=720 sayısını buldum. Yukardaki sayıları şimdi şöyle yazabiliriz. 1x2x3x4x5x6+2, 1x2x3x4x5x6+3, 1x2x3x4x5x6+4, 1x2x3x4x5x6+5, 1x2x3x4x5x6+6

Hiç hesap yapmadan, sadece gözümüzle takip ederek ilk sayıyı oluşturan iki parçanın da 2’ye bölündüğünü, ikinci sayıyı oluşturan iki parçanın da 3’e bölündüğünü (ve bu böyle devam eder) görürüz. 1x2x3x4x5x6 sayısını kısaca 6! olarak yazarız.

Şimdi 5 yerine çok daha büyük bir sayı tutalım ve bu sayıya N diyelim.

(N+1)!=1x2x3x … x(N+1) sayısının 2, 3, …, N+1 sayılarına kalansız bölünebildiğini açıkça görüyoruz.

Bu durumda (N+1)!+2, (N+!)!+3, …, (N+1)!+(N+1) sayılarının sırasıyla 2, 3, … , N+1 ile bölündüğünü, dolayısıyla hiç birinin asal olmadığını yine gözümüzle kontrol ederek hiç işlem yapmadan görürüz.

(N+1)!+2 sayısından önce gelen ilk asal sayıya p, (N+1)!+(N+1) sayısından sonra gelen ilk asal sayıya q dersek q-p>N bulduk.

Demek ki hiçbir asala rastlamadan ilerleyeceğimiz, istediğimiz uzunlukta sayı aralıkları vardır.

Buna rağmen asalların sonsuz tane olduğunu hatırlayalım. Asallar hem çoklar hem de birbirlerinden istenildiği kadar uzak olabiliyorlar. Ama her sayı ile o sayının iki katı arasında da mutlaka en az bir asal sayı bulunur. Buna göre eğer p asal bir sayıysa bir sonraki asal sayı mutlaka 2p’den küçük olacaktır. Eğer bu teoremi başta bilseydik asalların sonsuz tane olacağını Öklid’in yardımı olmadan hemen söyleyebilirdik. Ama tarihin akışına uyduk: Öklid MÖ 5. yüzyılda yaşamış, bu teorem ise ancak 19. yüzyılda kanıtlanabilmiştir.

İkiz Asallar

Asal sayılar listesinin başında 2 sayısını görüyoruz. Onun dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayıları ilgilendiren sonuçlar genellikle 2 için farklı, diğer asallar için farklı olur. Biz de şimdi 2 dışındaki asallara baktığımız zaman bazılarının birbirine çok yakın olduğunu görürüz.

Örneğin: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19).

Aralarındaki fark yalnızca 2 olan bu asal çiftlerine ikiz asallar denir. Çok büyük ikiz asallar vardır. Bilinen en büyük ikiz asalların her birinin 388.342 basamağı vardır. Daha büyüğü bilinmiyor, ama yine de ikiz asallardan sonsuz tane olduğu düşünülüyor. İkiz Asal Sanısı sonsuz tane ikiz asal olacağını iddia eder ve bu konu pek çok araştırmacının üzerinde çalıştığı bir konudur.

Listeye alamadığımız çok daha büyük sayıların asal olup olmadığını anlamak için bölenleri olup olmadığını denemekten başka bir çaremiz henüz yok. İnternet alışveriş siteleri ve elektronik bankacılık sistemleri, verilen bir sayının çarpanlarının kolay kolay bulunamayacağı gerçeğini güvenlik için kullanır. Örneğin verilen sayı 150 ise hemen çarpanlarını bulabilirsiniz. Ama eğer verilen sayı 150 basamaklıysa en hızlı bilgisayarlarla bile Güneş’in kalan ömrü içinde o sayının çarpanlarını bulamazsınız. Asal sayıların şifreleme tekniklerinde kullanılmasının sebebi işte budur, ama şimdilik bu konuya girmeyelim.

Asal Sayılar Teoremi

Asal sayıların hangi kurala göre tam sayıların içine dağıldığını anlamamız henüz mümkün değil. Bize sanki rastgele dağılmışlar gibi görünüyor. Kesin cebirsel ifadelerden umudumuzu kesince analitik yaklaşımlarla asal sayıların davranışlarını tarif edebilir miyiz diye düşünmeye başlıyoruz. Analitik yaklaşımlar genellikle asimptotiktir. Yani eğer 1’den n tam sayısına kadar olan asal sayılarla ilgili bir kuralı analitik olarak söylüyorsak bu kural ancak n sonsuza giderken doğru olacaktır.

Örneğin 1’den n tam sayısına kadar olan asalları incelersek ortalama olarak her log n sayıdan birinin asal olduğunu gözleriz. Eğer 1’den n tam sayısına kadar kaç tane asal olduğunu π(n) ile gösterirsek

olur diye umut ederiz. Buradaki ~ işareti “aşağı yukarı aynı” anlamındadır.

Çok büyük n sayıları kullanarak iki tarafı da hesaplarsak iki taraf arasındaki farkın n sayısına oranının küçük olduğunu görürüz. Burada dikkat edilecek şey, iki taraf arasındaki farkın n büyüdükçe büyümesi ama bu farkı n’e böldüğümüz zaman çok küçük sayılar elde etmemizdir. Kısacası n sonsuza giderken yukarıdaki ifadede yer alan “aşağı yukarı aynı” iddiası “aynı” iddiasına dönüşür. Bu ise sayılar kuramının meşhur Asal Sayı Teoremi’dir ve ancak yüz yıl önce, Öklid’den iki bin beş yüz yıl sonra kanıtlanmıştır.

Asallar Arasındaki Boşluklar

Verilen herhangi bir n tam sayısından küçük iki ardışık asal arasındaki ortalama farkın log(n) olduğunu gözledik. Bazı asallar arasındaki farkın bu ortalamadan az, bazılarının ise fazla olması normal. Acaba bu ortalama farkın milyonda bir küçüklüğünde farka sahip ardışık asallar bulabilir miyiz?

Herkesin küçük sayı kavramı kendine göre değişeceği için biz bu küçük sayı için c sembolünü kullanalım. Herkes sonra c yerine kendi istediği küçüklükte bir sayı yazabilir. Şimdi bir p asal sayısı arıyoruz, öyle ki ona yakın bir q asal sayısı olsun ve p ile q sayılarının farkı c log p sayısından küçük olsun.

Cem Yalçın Yıldırım, Boğaziçi Üniversitesinde çalışmalarını sürdürmektedir.

Elbette böyle bir p asalı bulunca yetinmiyoruz, başka var mı diye de bakıyoruz. Hatta sonsuz tane bunlardan bulabilir miyiz diye soruyoruz. Problemi ilginç yapan özelliği, bir kere c sayısını sabitledikten sonra istediğimiz özelliklerdeki p ve q asallarından sonsuz tane olup olmadığını sormasıdır. Bu problem üzerine üç ülkeden üç matematikçi beraber çalıştı. ABD’den Daniel Goldston, Macaristan’dan Janos Pintz ve Türkiye’den Cem Yalçın Yıldırım. Bu matematikçiler yukardaki sorunun cevabının “evet” olduğunu gösterdikleri çalışma sonunda 2014’de Amerikan Matematik Derneği’nin en saygın ödüllerinden olan Cole Cebir Ödülü’nü kazandılar.

Yalçınların bulduğu sonuçtan sonra İkiz Asallar Sanısı için umutlar arttı. Aralarındaki fark 2 olan sonsuz tane asal sayı çifti bulunabilir mi?

Hatta biraz alçak gönüllülük yapıp bu 2 sayısından da vazgeçtik. İki yerine başka sayı da olsa razıydık. Örneğin aralarındaki fark 10’dan fazla olmayan sonsuz tane p ve q asal sayı çifti olduğunu bilebilsek, bu bile heyecandan günlerce uyuyamamamıza neden olabilirdi. Yitang Zhang aralarındaki fark yetmiş milyondan fazla olmayan sonsuz tane asal sayı çifti bulunacağını gösterdi

Bazılarımıza yetmiş milyon çok gelmişti. Zhang’ın çalışmasının yayımlandığı sıralarda Yalçınların çalışmalarını başka bir açıdan değerlendiren yeni mezun bir matematikçi, James Maynard, Zhang’ın yetmiş milyon olarak bulduğu sınırlamayı birdenbire 600’e indirdi.bizlere geçtiğimiz yıllarda. Tarihte ilk defa aralarındaki farkın önceden sabitlendiği asal sayı çiftlerinden sonsuz tane olduğu gösteriliyordu.

Yitang Zhang, Santa Barbara Üniversitesi’nde araştırmalarına devam ediyor.

Dünyanın değişik yerlerindeki matematikçilerin internet aracılığıyla bir proje üzerinde ortak çalışma yapmasına olanak sağlayan Polymath projelerinin sekizincisi Terence Tao başkanlığında bu sınır problemi üzerine kuruldu ve bu sayı 246’ya indi. Sayının en son 2’ye indirilmesini bekliyoruz, ama 246 da şimdilik geceleri huzur içinde uyumamıza yetiyor.

Aslında Her Şey Riemann’la Başladı

Asal sayılardan söz ederken Riemann’dan söz etmemek mümkün değil. Hayatında sayılar kuramı üzerine tek bir makale yazdı. O güne kadar reel sayılar kullanılarak hesaplanan Euler’in bir fonksiyonunu karmaşık sayılara genişletti. Şimdi Riemann Zeta fonksiyonu dediğimiz bu  fonksiyonun sıfır olduğu noktalar ile asal sayıların dağılımı arasında bağlar buldu. Zeta fonksiyonunun sıfırlarının belli bir özelliğe sahip olduklarını gözlemlediğini ama bunu kanıtlayamadığını, zaten ilk etapta bu özelliğin kendi sonuçlarını etkilemeyeceğini yazdı. Bugün Riemann’ın “yapamadım” dediği o ispatı yapana Clay Matematik Enstitüsü bir milyon dolar ödül vaat ediyor.

Her Zaman Para Ödülü Yok

Goldbach ve kendisinin Euler’e yazdığı mektup

Alman matematikçi Christian Goldbach’ın 1742’de Leonhard Euler ile mektuplaşması sonunda ikisinin de doğru olduğunu düşündüğü ama kanıtlayamadığı bir iddia ortaya çıktı: 2’den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir.

Bugün Goldbach Sanısı olarak bilinen bu iddiayı kanıtlayan kişi hiçbir para ödülü almayacak ama adı tüm matematik kitaplarında ve sayılardan söz edilen her yerde insanlık var oldukça yer alacak. Üstüne kendisi bir milyon dolar verse elde edemeyeceği bir “ölümsüzlük”. Ölümsüzlüğü yeterli görmeyip illa para olsun diyenler üzülmesin. Yüz milyon basamaklı bir asal sayı bulan ilk kişiye 150.000 dolar, bir milyar basamaklı bir asal sayı bulan ilk kişiye de 250.000 dolar ödül var. Ödül için Electronic Frontier Foundation’ın web sitesine başvuruluyor.

Asal sayılar hakkında anlatılacak hikâyelerin şu ana kadar çok azına değinebildik. Martin Gardner’in dediği gibi, asal sayılar konusu matematiğin hiçbir dalında olmadığı kadar gizem, zarafet ve heyecan barındırır.

Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz [ Bilkent Üniversitesi – Fen Fakültesi – Matematik Bölümü

Bu yazı Bilim – Teknik dergisi Sayı 596 Temmuz 2017 yayınlanmış, web için aslına uygun kalınarak düzenlenmiştir.

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');