Altın Oran ve Gerçekler

Altın Oran Nedir?

Yazıya başlamadan önce Oran ve Orantı demekle neyi kastettiğimizi anlatalım:

tanımlar

Şimdi Altın Oran‘ın tanımını verebiliriz:

“İkiye bölünmüş bir doğru parçasında, küçük parçanın uzunluğunun büyük parçanın uzunluğuna oranı ile büyük parçanın uzunluğunun bütünün uzunluğuna oranı bir orantı oluşturuyorsa (yani bu iki oran birbirine eşitse), bu orana Altın Oran denir.”

Yani şunu demek istiyor, bir çubuğu al, iki parçaya böl, ama öyle böl ki küçük parça ile büyük parça arasındaki oran, büyük parça ile çubuğun tamamı arasındaki oranla aynı olsun. Aşağıdaki görselde Altın Oran’ın matematiksel olarak çıkarımı veriliyor. Bu bölümü okumak istemeyenler pembe yazılı yerleri atlayabilir.

altın oranın çıkarımı

Yukarıdaki eşitlikte Altın Oran hesaplanırsa yaklaşık değeri:

φ=1,61803398875… bulunur.

Dikkat edilirse bu yalnızca bir “tanım”dır. Yani matematikçilerin kafasından çıkan bir şey…

Altın oran Mısır ya da Babil’de görülmez. İlk kez Yunanlı matematikçilerin tanımladığı  bir şeydir Altın Oran… Sanat eserlerinde kullanılması büyük ihtimalle kültürel bir şeydir. Parthenon‘un tasarımında Altın Oran’dan sıkça yararlanıldığı söylenir. Bu da normaldir ki Thales‘le başlayıp, Pisagor‘dan geçerek en sonunda Platon, Eudoxus gibi devlerin elinde mükemmelleşen Yunan matematiği, elbette Yunan kültürünün doruk noktalarından biri olan Parthenon’da kendini gösterecekti.

Eniyle boyu arasındaki oran Altın Oran’a yakın olan bir dikdörtgenin (altın dikdörtgen) göze en hoş gelen dikdörtgen olduğu söylenir, çünkü ne fazla uzun, ne fazla geniştir. Oysa bir dikdörtgenin göze hoş görünmesi için en-boy oranının tam olarak φ’ye eşit olmasına gerek ve imkan yoktur, buna yakın herhangi bir oran da pekala aynı derecede göze hoş gelecektir. Sanatta hiç bir zaman böylesine kesin oranlar ve değerler var olamaz.

Ama Altın Oran’ın bu kadar ilgi çekmesinin kimi haklı sebepleri de yok değildir. Bunlardan ikisini burada vermek istiyorum.

Venüs Pentagram’ı

Altın oranın bu kadar meşhur olmasının bir kaç sebebini saymak istiyorum burada: Birincisi, Altın Oran’ın güzellik sembolü olan Venüs’ün beş köşeli yıldızında karşımıza çıkması. Bilindiği gibi Akşam Yıldızı ya da Çoban Yıldızı olarak adlandırılan Venüs gezegeni güzellik tanrıçasıdır. (Latince adı Lucifer… Komplo teorilerini duyar gibi oluyorum. Haksız da değillerdir yani. Venüs, anatanrıça kültüyle bağlantılıdır. Çok tanrılı olsun, tek tanrılı olsun, ataerkil dinlerin hepsi de bu eski anatanrıça kültüne savaş açarak onu kötülükle, cadılıkla vs. bağdaştırmışlardır.)

Venüs, Güneş’in çevresinde dolanması sırasında yaklaşık 8 yıllık periyotlarla Güneş’in önünden 5 kez geçer, yani 8 yılda yaklaşık 5 kez Güneş-Venüs-Dünya dizilimi olur. (8 ve 5 sayılarına dikkat! Bunlar Fibonacci Dizisi‘nin elemanlarıdır. Aşağıda göreceğiz.) Tutulum düzleminde bu dizilimin gerçekleştiği noktalara nod denir. Venüs’ün nodları birleştirildiğinde beşgene (pentagram) çok yakın bir şekil oluşur. Buna Venüs’ün Gülü ya da Venüs Pentagram‘ı denir. Bu olgu aşağı yukarı 400 senedir bilinmektedir, (belki de bin yıldan beri). Ancak şunu da ekleyelim ki Venüs Pentagram’ı mükemmel değildir, nodlar yavaş yavaş yer değiştirir. Yani Venüs Pentagram’ı tutulum düzleminde yavaşça döner.

 

Venüs Pentagram’ı

Venüs Pentagramı’nın nasıl oluştuğunu anlamak için şu linkteki animasyonu çalıştırınız:

https://www.uwgb.edu/dutchs/AstronNotes/Earth-Venus.htm

Venüs Pentagram’ı Nasıl Oluşuyor Peki?

Dünya Güneş çevresinde 365,256 günde dolanır.

Venüs ise Güneş çevresinde 224,701 günde dolanır.

Bu durumda Venüs’ün Güneş çevresinde dolanım süresi yıl bazında:

224,701 / 365,256 ≈ 0.615187 Dünya Yılı’dır.

Şimdi şu tesadüfe bakın:

8/13 ≈ 0,615385

Yani ardışık iki Fibonacci Sayısı‘nın (8 ve 13) oranı, bize Venüs’ün Dünya Yılı cinsinden dolanım süresini verir. Bunun anlamı şu: 8 yılda Venüs Güneş çevresinde 13 kez dolanır. (Yaklaşık olarak tabi. Gerçekte bu sayı 13,004 kezdir.)

Şimdi, 13-8 = 5 olduğundan, 8 yılda Venüs 5 kez Dünya’ya en yakın konumuna gelir.

Pentagram

Beş köşeli yıldız, yani pentagram, bir çok süsleme ve bezeme sanatında kullanılır. Beş köşeli yıldızın kenarlarının ve yıldızın kol parçalarının uzunluklarının birbirine oranları hep altın orandadır.

576px-Pentagram-phi.svg

Pentagondaki dört farklı renkle gösterilen uzunlukların birbirine oranı hep Altın Oran’ı verir.

Fibonacci Dizisi

Altın Oran’ın doğadaki olgularla bağdaştırılmasının nedenlerinden en başta geleni, Fibonacci Dizisi’nin ardışık terimlerinin de Altın Oran’a yakınsamasıdır. Antik Yunan’da tanımlanan bir sayının Aydınlanma Çağı Avrupa’sının ilk matematikçilerinden olan Fibonacci’nin bulduğu Fibonacci Dizisi‘nde karşımıza yeniden çıkması şaşırtıcıydı elbette. Üstelik doğadaki bazı olgularda Fibonacci Dizisi’nin elemanlarını görüyoruz. (Ancak, bu ortalığı ayağa kaldıracak denli kesin ve sık bir olgu değildir. Yine de böyle bir olgu vardır.) Örneğin, çam kozalaklarının dip kısmındaki spirallerin sağa dönük olanlarının sayısı genelde 8, sola dönük olanların sayısı ise genelde 13’tür. Bir çok çiçek cinslerinin (özellikle de papatyaların) taç yapraklarının sayısı da genellikle Fibonacci Dizisi’nin bir elemanı olmaktadır.

Lesson_Fibonacci-pinecones

Çam kozalaklarında bizzat bunu denedim, ancak çiçekler konusunda bir şey söyleyemem. Doğaya çıktığımızda çiçeklerin taç yapraklarını saymak bizim için ilginç bir alıştırma olabilir.

 

Elbette bu dizinin toplamlar şeklinde ilerlediğini, toplamlar şeklinde ilerleyen her dizinin Altın Oran’a yakınsayacağını (ya da onun bir katına) söyleyebiliriz. Ancak, büyüme süreçlerinde ve güzellik algımızda bu orana rastlamak (süslemelerde çokça kullanılan pentagramın kaçınılmaz güzelliğini düşünün) elbette insanları şaşırtıp, bu sayıya ilgi duymalarını sağlayacaktı.

Yine de bu dizinin karşımıza olmadık yerlerde çıkmasının büyüme mekaniği ile ilgili basit bir nedeni de olabilir.

İnternet’te yaptığım araştırmada, Fibonacci Dizisi’nin elemanlarının ve Altın Oran’ın sanıldığı gibi yaygın olmadığına dair bir çok yazı çıktı karşıma. Şimdilik bunların üzerinde fazla durmak istemiyorum, çünkü bu konuda pek çok kaynak zaten vardır.

Altın Kanıt

Altın Kanıt

Üçüncü olarak eklemeliyim ki Nobel ödüllü matematikçi ve fizikçi Robert Penrose tarafından bulunan karolarla düzlem döşeme teorisinde de sık sık karşımıza altın oran çıkıyor. Bir düzlemin kaplanması gerektiği her yerde Altın Oran karşımıza çıkar.

Son olarak eklemeliyim ki Orta Çağ İslam sanatında kullanılan süslemelerin içinde de bol miktarda altın orana rastlanıyor. Çünkü bu şekillerin esasında Penrose’den 500 yıl önce Penrose Karoları ile oluşturulduğu gösterildi. (Bir kaynak için bakınız: https://haberinvarmitasduvar.wordpress.com/…/eski…/)

Evet, internette dönen geyiklerin çok abartı ve fantastik şeyler olduğu doğrudur, ama bu Altın Oran’ı tam olarak anladığımız anlamına gelmez. Altın Oran gerçekten de şaşırtıcı bir sayıdır. Hemen hemen π gibi… Oysa π sayısına da basit bir oran diyebilirdik. (Çemberin çevresinin çapına oranı.)

π sayısı en olmadık yerlerde kaşımıza çıkar. Olmadık şeylerin olasılığında, mesela yere bir çizgi çizilip bir avuç kibrit çöpü bu çizginin üstünden çizgiye doğru bırakıldığında çizgiye değen kibritlerin sayısının bütün kibritlerin sayısına oranı 1/π olacaktır. (Bu konuda bir video için bakınız:https://www.youtube.com/watch?v=sJVivjuMfWA)

Ayrıca gerçek matematikçilerin Altın Oran hakkında söylediklerini bilmek istiyorsanız, bu arama sonuçlarını tarayabilirsiniz:https://www.youtube.com/results…)

Sinan İpek

Matematiksel   

Yazıyı Hazırlayan: SİNAN İPEK

Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar:

TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik,
2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik,
Ya Sonra Öykü Yarışması’nda finalist,
Mimarlık Öyküleri Yarışması’nda finalist,
44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

3 Yorumlar

  1. sayfanın başındaki altın oran tanımı ile, ilk pembe kısımdaki işlem aynı şeyleri ifade etmiyor

    • Bir orantıda terimlerin çarpmaya göre tersini almak, orantıyı değiştirmez. Yani a/b=b/(a+b) orantısı ile b/a=(a+b)/b orantısı aynıdır.

  2. Teşekkürler ..tüm sanat tarihcilerınin ,mimarların göz önünde bulundurmaları evrensel degerler..

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');