3n+1 Problemi ve İlginç Hikayesi

Matematikte çok ilginç diziler görmemiz mümkün hatta tarihte bu tür serileri takıntı haline getirerek bir ömür peşinde koşturanlarla alakalı çokça örnek var. Mesela, en ünlülerinden biri olan Fibonacci dizisi ve onu keşfetmekle uğraşan tonla kişi  gösterilebilir. Ama bugün onlar kadar ilginç olmasına rağmen tarih sahnesinde kendisine çok da önlerde yer bulamayan bir dizinin hikayesinden bahsedeceğiz. “3n+1” veya “Collatz problemi”

1900 lü yılların başında keşfedildiği düşünülen dizinin 1970 lere kadar tam anlaşılmadan yoluna devam ettiğini söylersek yanılmış olmayız. Daha sonra ise yıllar ilerledikçe ve matematikçiler bu dizinin ilginçliklerini ortaya çıkardıkça ünü de arttı. Lothar Collatz adlı bir öğrencinin  keşfi olan bu dizi günümüzdeki matematikçiler için araştırma konusu olmayı sürdürüyor. O zaman başlayalım.

Diziyi oluştururken kullanacağımız kural oldukça basit. Bir sayı seç eğer seçtiğin sayı tek ise üç ile çarp ve bir ekle (3n+1), seçtiğin sayı çift ise ikiye böl (n/2) ve bunu dizi belli bir döngüye oturana kadar devam ettir. Şimdi kulağa çok ilginç gelmiyor olabilir ama örneklere geçince ilginizi cezbedeceğine emin olabilirsiniz. Mesela küçük bir sayıdan başlayalım, 5 sayısı…

5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 görüldüğü gibi sayı 1 den sonra döngüye giriyor.

Peki bu seferde sayımız 7 olsun…

7, 22, 11,34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 ve yine aynı döngü karşımıza çıkıyor.

Dizinin ilginç yanlarından biri önce yükseliyor bir tepe noktasına ulaşıyor ve sonra hızla düşüşe geçiyor.

Yıllardır tüm başlangıç sayıları için aynı sonucun alınıp alınamayacağı araştırılmakta ve şimdilik değişen bir şey yok. Örneğin Tokyo üniversitesinde yapılan araştırmalar sonucunda 1 trilyon ile başlandığında bile döngü yine elde edilmiş ve tepe noktalarının çok büyüdüğünü ama sonra hızla düşüşe geçtiği gözlemlenebilmiş.

Bir düşünelim ilk 50 sayı içerisinde tepe noktası en yüksek olan 27 sayısıdır (tepe:9232) ve tepe noktasına ulaşması için gerekli adım sayısı ise 77, böyle düşününce araştırmaların büyük rakamlar için bir hayli meşakkatli ve ilginç olduğu açık. Ayrıca araştırmalar bununla da sınırlı değil, adım sayıları arasında bir bağıntı olup olmadığı, doğada bu serinin varlığı ve hatta kullanılabileceği alanların olup olmadığı (finans grafiklerinin yorumlanışı gibi) da merak konusu.

Fibonacci serisi kadar ünlenmeyeceği aşikar olsa da üzerinde yapılan çalışmaların henüz kısıtlı sayıda olduğunu söylemek gerekir. Kim bilir belki bu serinin kullanım alanlarını keşfetmekte şimdilerde öğrenci olan siz genç Türk  matematikçilere nasip olur.

Ümit Sağlam

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Umit Saglam

Akaki Tseretelli State University. ‘de Matematik bölümünü bitirdim. 2010 da Türkiye ye döndüğümde satış ve finans departmanlarında çalıştım. 2013 de Yeditepe Üniversitesinden pedagojik formasyon alarak Öğretmenliğe başladım. Şuan Türkiye’nin önde gelen eğitim kurumlarından birinde Matematik ve Satranç öğretmenliği yapmaktayım. Satranç, gezi, yemek yapmak, akıl oyunları, yağlı boya resim, fotoğrafçılık, kampçılık ilgi alanlarım. Ayrıca “matematiği öğretirken sevdirebilmek” üzerine çalışmalar yapmaktayım.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

2 Yorumlar

  1. Güzel bir yazı. Böyle yazılara ilgili bilgilendirici bir video varsa ekleyebilirseniz daha faydalı olur site genelinde.

    Örneğin Numberphile videosu:

    https://www.youtube.com/watch?v=5mFpVDpKX70

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');