1+2+3+4+5+6+………= -1/12

Tüm pozitif sayıların toplamı negatif mi? Üstüne üstlük bir de rasyonel sayı mı? Bu soruları ilk başta tüm matematikçiler S. Ramanujan’a sordu gerçekten böyle bir şey mümkün mü diye? Ramanujan da kendisine…

Herşey aslında bir mektupla başladı. 1913 yılında Srinivasa Ramanujan’ın zamanın ünlü matematikçisi G.H. Hardy’e gönderdiği içinde onlarca ispat içeren bir mektupla. Mektubun sonunda da bu ve bunun gibi bazı ilginç özellikler vardı. Mektup Ramanujan’a İngiltere’nin kapılarını araladı ve Hardy ile çalışmasına olanak sağladı.

Peki ama nasıl buldu bu sonucu Ramanujan.

Önce bu toplamın sonucunun sabit bir sayıya eşit olduğunu düşünü mesela C sonrada bu sayıyı  aldı mesela buna C dedi, C bu toplamı 4 ile genişletti.

C=1+2+3+4… ise 4C=4+8+12+16… olur.

Şimdide bunları birbirinden çıkartalım.(Burada bir hata var unutmayın!)

Elimizde -3C=1-2+3-4+5-6… gibi yeni bir toplam var.

Ramanujan 1-2+3-4+5-6… toplamının (1-1+1-1+1-1…)2 sine eşit olduğunu biliyordu.

Peki ama nasıl derseniz…

(1-1+1-1+1-1…)2= (1-1+1-1+1-1…) x (1-1+1-1+1-1…) gibi düşünelim bunu yapmak için her terimi birbiri ile çarpmamız lazım elbette. Bunu aşağıdaki gibi düşünürsek daha kolay çarpabiliriz elbette…

Çarpma işlemini tamamladığımız zaman tablomuz aşağıdaki gibi olacaktır.

Şimdi sırada bunları toplamamız gerekiyor. Bu iş içinde köşegenlerden faydalanalım. Mavi köşegen 1, yeşil köşegen -2, sarı köşegen 3, turuncu köşegen -4 diye devam edecektir. Bu durumda 1-2+3-4+5-6… toplamının (1-1+1-1+1-1…)2sine eşit olduğunu bulduk. (Bu çarpımda da bir sorun var elbette)

Şimdi bir işimiz daha var anlatmamız gereken bu sonucu şimdilik burada bırakalım.

Geometrik serileri bilir misiniz? Aşağıda yazdığımız bir geometrik seri toplamıdır.

 toplamına A diyelim şimdi. Şimdi bu toplamı r ile çarpalım.

 toplamımız A.r oldu. Bunları birbirinden çıkartmaya çalıştığımızda şanslıyız ki neredeyse bütün terimler birbirini sadeleştirecektir. Ve geriye şöyle bir ifade kalacaktır.

Aslında buraya kadar bir sorun yok sonuçta r değerini (-1,1) aralığında seçtiğimiz müddetçe elbette. Ancak ya r=-1 seçersek ne olur dersiniz.

A=1+(-1)+(-1)2+(-1)3….düzenlersek A=1-1+1-1… çıkar karşımıza, formülde de yerine yazarsak A=1/2 sonucuna ulaşırız.

Saçma evet biliyoruz çünkü kural ihlalleri yaptık. Bunları yazının sonunda açıklayacağız. Önce bu -1/12 nin nereden geldiğini anlatmayı bitirelim.

Şimdi en başa dönelim. Elimizde -3C=1-2+3-4+5-6… gibi yeni bir toplam var. Ve an itibarı ile bunun (1/2)2=1/4 olduğuna erişmiş olduk.

O zaman -3C=1/4 ise C=-1/12 diyebiliriz.

Kısacası C=1+2+3+4… toplamının -1/12 olduğu ispatı tamamlandı.

Bu Ramanujan’ın gittiği yol. Başka bir yoldan da bulunabilinir bu cevap hatta güzel birini incelemek isterseniz buraya da göz atabilirsiniz.

Ancak bu soru başka bir yerde karşınıza çıkarsa kesinlikle siz -1/12 cevabını vermeyi, bu cevap yanlış sonuçta, tüm doğal sayıların toplamı aslında sonsuzdur elbette…

Peki hatalar nerede?

Aslında bir değil birden fazla yerde hata bulunmakta elbette…

Matematikte bazı tanımlamalar vardır ve bunlarla oynamak sakıncalıdır. Mesela sonsuzluk bunlardan biridir. Sonsuz bir sayı değildir ve onunla istediğiniz gibi dört işlem yapamazsın. Bu nedenle daha en başta Ramanujan sonsuzlukları birbirinden çıkartarak bu hataya düşmüştü.

Diğer bir yanılgı da şudur.

Eğer bir dizi herhangi bir limite yakınsıyor ise, bu diziye yakınsak dizi, hiç bir limite yakınsamıyorsa ıraksak dizi denir.

Mesela  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … toplamı yakınsaktır ve limiti 2 dir.

Ramanujan sorusuna ıraksak bir dizi seçerek başlamıştı. En önemli sorun buydu. (1-1+1-1+1-1..) toplamı da ıraksaktır elbette.

Bir diğeri diziler yakınsak olduğunda yani dizilerin limitleri bulunduğunda bu dizilerle toplama, çıkarma yapabilirsiniz ancak çarpma biraz risklidir. Çarpımın kesin yakınsak olacağı söylenemez.

Bu sonuç aslında s = -1 için Riemann Zeta fonksiyonuyla ilgilidir. İsterseniz Wolfram Alfa’ya zeta fonksiyonu için bakabilirsiniz. Eğer s = -1 yaparsanız, zeta işlevi 1 + 2 + 3 + 4 + … ‘nın basit toplamına indirgenir ve sonucun hesaplanmasını isterseniz -1/12 olarak gösterecektir. Bunun nedenini anlamak için aşağıdaki videoya da göz atabilirsiniz.

Kaynaklar

(1)https://www.youtube.com/watch?v=jcKRGpMiVTw

(2)https://prateekvjoshi.com/2014/01/24/1-2-3-4-5-112/

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Sırt Çantası Problemi

Bilgisayar bilimlerinde optimizasyon algoritmalarıyla ilgilenmeye başladığınızda ilk karşınıza çıkacak olarak problemlerden biri olan sırt çantası …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');