1+2+3+4+5+6+………= -1/12

Tüm pozitif sayıların toplamı negatif mi? Üstüne üstlük bir de rasyonel sayı mı? Bu soruları ilk başta tüm matematikçiler S. Ramanujan’a sordu gerçekten böyle bir şey mümkün mü diye? Ramanujan da kendisine…

İşte tüm gerçekleri ile garip bir sonuç ve onun ispatı….

 

Bu toplamın aslında sonsuza gittiğini ya da matematiksel bir dil ile ıraksak olduğunu biliyoruz. Peki şöyle yapalım;

F = 

olsun. Yukarıda F ‘ in hangi sayıya eşit olduğunu çok net bir şekilde görebiliyorsunuz değil mi? Yukarıdaki toplamı 1 den çıkaralım. Yani bu durumda yeni dizimiz

biçiminde olacaktır. Yukarıdaki verilen iki toplamın da 0 değerlerine eşit olduğunu unutmayalım. Şimdi aşağıdaki denklemi yazabiliriz;

Basit bir denklem çözme ile  olacağından dolayı F = 1/2 olacaktır. Bu burada kalsın. Hemen döneceğiz.

Sırada başka bir seri tanımlayacağız. “B” toplamı ile göstereceğimiz bu toplam şöyle olsun;

Yapmamız gereken şu; F ve B ile tanımlanan iki seriyi hemen alt alta toplayalım.

F + B =  olacaktır. Bu toplamı hemen -1 ile toplayalım;

 şeklinde devam eder. Gördüğünüz gibi hemen serinin başına -1 ekledik. İşlem yapmıyoruz! Dikkatli, bakın, sağ taraftaki toplam  değil mi? Bir an önce yerine yazalım; O halde,

  olacak ve F = 1/2 olduğunu da göz önüne alıp düzenlersek karşımıza şöyle bişey çıkacaktır;

olup gerekli düzenlemeler neticesinde,

ve B= 1/4 olacaktır.

Buraya kadar kafamızı hiç karıştırmayalım ama çok az kaldı. Bizden istenen şu aşağıda “N” ile tanımlanan serinin cevabıydı. Bu seriyi “-B” ‘ile toplayalım ve sonucu bakalım

Yukarıdaki iki seriyi topladığımız zaman

 olup,

 şeklinde ifade edilir. Ee, parantez içindeki ifade “N” toplamının tıpatıp kendisidir. O halde denklemimiz şu hale gelmez mi?

olacaktır. Tabiki burda “B” olarak ifade ettiğimiz toplamın sonucunu yukarıda bulmuştuk.

Yukarıdaki denklemde bilinenler bir tarafa bilinmeyenleri bir tarafa atarsak ( Bilmece gibi )

olacak ve burdan da,

olur.

Ramanujan bu ispatı yaptıktan sonra 3 yıl boyunca bazı matematikçiler tarafından matematiği alt üst eden insan olarak tanımlanmıştır. Ancak burada yanlış birşeylerin olduğu kesin gibidir. Pozitif doğal sayıların toplamı nasıl olur da negatif bir sayı çıkar. Üstüne üstlük bir de rasyonel ifade!!!

Peki burada yapılan  yanlışlık neydi?

 biçiminde iki serinin birbirinden çıkarılmayacağı gerçeği gözlerden kaçmıştı. Yukarıda belirttiğimiz N – B ifadesi matematikte iki sonsuza giden serinin çıkarılması anlamına gelecektir ki bu durum tanımsızdır. Yani tüm doğal sayıların toplamı aslında, matematiksel bir dille,

olmalıdır.

Kaynaklar ve İleri okumalar:

(1)https://www.youtube.com/watch?v=E2R0gn656-M

(2)https://prateekvjoshi.com/2014/01/24/1-2-3-4-5-112/

(3)http://tech.firstpost.com/news-analysis/sundar-pichai-mark-zuckerberg-and-others-pledge-to-build-srinivasa-ramanujans-foundation-311580.htm

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Martin Gardner’in En İyi Matematiksel Bulmacalarını Çözebilir Misiniz?

“Bulmacalar sizi matematiğin hemen hemen her dalına götürebilir.” – Martin Gardner Martin Gardner bir gazeteci, …

8 Yorumlar

  1. 1-F=F olmuyor ki.

    • Mushab Bedirhan Andız

      F = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …….. şeklinde değil mi? Bu değer 0 olacaktır.
      1 – F = -1 + 1-1+1-1+1-1+1-….. bu toplam da 0 olacaktır. Dolayısıyla iki seri birbirine eşit olduğundan dolayı;
      1-F=F
      denklemini yazdık.

      • Asaf metin GÜNGÖR

        iyi de kardeşim F= 1-1+1-1+1-1….. sıfır oldugunu nerden biliyorsunuz. Yani başka bir ifadeyle sonsuz terimdeki terim sayisinin cift adette oldugunu nasıl iddia edebiliyorsunuz. Kaldı ki sonsuzun cift terimli oldugunu yani F nin sıfır oldugunu kabul edelim. Bu durumda 1 den cıkarirsak ifade tek terimli olacağından her -1+1 çifti sıfır yaptıktan sonra geriye bir tane 1 artacaktır. Allah aşkına gerçeklere dönün bir deli bir kuyuya taş atıyor 40 kişi o taşi cıkaramıyorsunuz. Ben de Gülçin hanıma katılıyorum. 1-F=F olmuyor. Bunu daha geniş şekilde ispatlarım isyerseniz.

        • Mushab Bedirhan Andız

          Metin Bey Merhaba;

          İlk olarak sonda kastettiğiniz “bir deli kuyuya taş attı” meselesi beni vurguluyorsa haklısınız ben matematik delisiyim. Ama Ramanujan için kullanıyorsanız o zır deli… Gelelim matematik kısmına; Sonsuz adette aynı terimin çıkarılması konusunun yanlışlığından dolayı zaten bu toplamın sonucu -1/12 olarak bulunuyor. 1+1-1+1-1+1-…. toplamı seriler için Grandi’s serileri olarak geçer. Onun da toplamı 1/2 olarak bulunur.Converges bir seridir. Eğer bu konu için açıklamam yetersiz ise Grandi’s serilerinin çelişkisi adlı aşağıdaki yazıyı inceleyin…

          https://math.stackexchange.com/questions/427635/grandis-series-contradiction

          İyi Çalışmalar Dilerim.

  2. Fikri ve resmi kullandığınız youtube kaynağını da belirtmenizi rica ederim. (Numberphile)

    https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

    • Mushab Bedirhan Andız

      Merhaba ilk olarak yazıların hepsinde en ufak harfine kadar intihal taraması ve referans vermekteyim. Onun haricinde toplamın bulunduğu fotoğraf numberphile isimli youtube kanalından alınmamıştır. Yazıda görülen tüm resimler referans kısmında bulunmaktadır. Bu yazının konusu ve yapılan araştırmalar (1) ile belirtilen videodan esinlenmiştir. Bu konuyla ilgili birçok youtube kanalında video bulunmaktadır.
      Sevgilerle

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir