(1/2)!=√(π)/2 mi?

Faktöriyel kavramını pek çok kişi bilir, “5! kaçtır?” diye sorsak hemen cevap verebilirsiniz belki. Ama sorumuz “(1/2)! ifadesinin sonucu kaçtır? ” şekline dönüşse eminiz biraz zorlanacaksınız. Şimdi bu ifadenin değerini gelin birlikte hesaplayalım. Malzeme listemiz;

. Gamma Fonksiyonu

. Birkaç tutam 

. Birkaç parça 

. Az birşey de dönüşüm kuralı

Şimdi öncelikle bir tanım vermemiz gerekiyor. Gamma fonksiyonu olarak tanımlanan şey;

 

 

şeklindedir. Hemen t=1/2 koyarsak elde edeceğimiz integral şu hale gelecektir.

 

şekline dönecektir. Şimdi integral dönüşümü için,

 

 

dersek her iki tarafın türevinden  olacaktır. Yani integralimiz bu dönüşümler çerçevesinde aşağıda hale gelecektir,

 

 

olur ki bu noktada integralde ince bir düzenleme yapılabilir. u’lar gidecek ve geriye sadece,

 

 

 

kalacaktır. Bu noktada içerideki integrali hesaplamak ayrı bir sıkıntı. Bu integralin ismi “Gauss İntegrali” olarak bilinir ki bu integralin sonucu aşağıdaki,

 

 

şekildedir. Bu integralin ispatını merak edenler referans kısımlarında bulunan ek açıklamalarda inceleyebilir. Dolayısıyla Gauss İntegralinin varlığı ile,

 

 

yazılır. Bulunan değer ve aşağıdaki gama fonksiyonu ile faktöriyel arasında geçişi sağlayan kural çerçevesinde

 

 

(Tabi  t>1 olmak zorundadır.) Hemen şu yukarıdaki ifadenin uzaydan gelmediğini gösterebiliriz.

ile ilişkilendirilir. Yukarıdaki iki integrali iyi inceleyin sanki akraba gibiler, kuralın da çıkış noktası budur. Daha ileri gitmek tehlikeli olduğundan Gama fonksiyonlarının daha derin konularına aşağıdaki bağlantılardan ulaşabilirsiniz.

Dönelim konumuza…

 olacaktır. Yukarıdaki gama fonksiyonunda  yazarsak bu durumda da  elde edilecektir. Gauss integralinden gelen çarpım 1/2’yi de unutmazsak,

 

 

elde edilecektir. Ders bitmiştir…

Referanslar ve İleri Okuma

(1)https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/BinomialCoefficientsGamma.htm

(2)https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/gaussianIntegral.htm

(3)https://i.ytimg.com/vi/QhDDpSju3uY/hqdefault.jpg

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Sırt Çantası Problemi

Bilgisayar bilimlerinde optimizasyon algoritmalarıyla ilgilenmeye başladığınızda ilk karşınıza çıkacak olarak problemlerden biri olan sırt çantası …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');